n次元空間

帰りの車内で自分が解いていた問題はこれ：

次の命題を証明せよ：

n個の点が全て互いに等距離にあるとき、それらの点はn-1次元空間で表現できる

もともとはShoと話しているときに、「数多くの点が同時に同じ距離になるには次元が増えなきゃならないよな？」というようなことを考えたのがきっかけで、最終的にはこんな証明問題に化けることとなった。

抽象的な命題で分かりにくいので、具体的に例を挙げよう。3個の点の場合、互いに全て等距離になるのは正三角形であり、これは2次元空間で表現できる（1次元では2点までしか等距離に取れない）　4個だと正四面体で3次元空間になる。このような感覚的事実をn次元において一般化して命題にすると、上のようになるということである。

このようにして数学的な命題に直した上で、実際に解いてみた。

いろいろと頭の悪い試行錯誤を繰り返したものの、結果的にはスタートから1時間半で一通り納得のいく証明を完成させることができた。自分は1通りの証明方法しか出していないが、かなり概念的な命題なので、おそらく数多くの証明が作れるはずだ。

蛇足だが、上の続きで具体例を考えていく場合に、5個以上の点が等距離になるためには4次元空間を用意しなくてはならないので、まず想像では追いつかないｗ　なので、まずは数式で表現しやすいように命題を言い換えていくことが重要である。

予備知識としては、ある2点

に対して、その間の距離が

として表される、ということだけ知っておけば十分だ。（三平方の定理の拡張）

・・・ということで、やる気のある人はぜひやってみてくださいｗ　僕の証明案を数日後にうｐします。